積分是什么？積分有什么用

積分是什么意思？有什么用？下面我們一起來看看吧！“積分”到底是什么？學生黨別亂用，否則影響成績，家長：早明白就不給了！首先我們要明白道積分的作用，積分是一種記錄學生在校期間的表現，以及對學生進行評價的工具，所以積分對學生來說十分重要。積分可以用來兌換禮品，也可以以用來購買課程，以至還可以用來申請獎學金等等。但是有些學生在申請獎學金的時分，卻碰到了麻煩，這是怎么回事呢？一起來看看吧。

一：積分是什么

積分分為許多種，1種是商家為了刺激生產者生產，是一種變相營銷的手段。比如，滿多少積分可換購某樣商品。積分獲取的途徑：購物，做使命，參加某種活動。2種是指數學，積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對于一個給定的正實值函數，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出（參見條目“黎曼積分”）。黎曼的定義使用了極限的概念，把曲邊梯形設計為一系列矩形搭配的極限。從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種類型的函數的積分。比如說，路徑積分是多元函數的積分，積分的區間不再是一條線段（區間[a,b]），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。第3種就是聯通公司根據用戶運用聯通網內業務的生產額度、在網工夫、額外獎勵等因素按月計算積分。用戶可以將獲得的積分用于兌換或生產聯通的通信產品與服務，也可用于兌換指定聯盟同伴提供的禮物與服務。

二：積分是什么意思就是求導嗎

求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念

三：積分是什么運算

微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是函數的微小的增量，函數在某一點的導數值乘以自邊變量以這點為起點的增量，得到的就是函數的微分它近似等于函數的實際增量（這里重要是針對一元函數而言)。 而積分是已知一函數的導數，求這一函數。所以，微分與積分互為逆運算

四：積分是什么時分學的

譯者：李伯民， 汪軍， 張懷勇

序言

偉大的思想家恩格斯曾經精辟地指出：“在一切理論成就中，未必有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看成人類精神的最高成功了。”20世紀最聞名的數學家之一馮·諾伊曼稱“微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是 不會過分的。”

微積分的思想可以追溯到久遠的古代，從兩千多年前始終到中世紀，東西方不斷有人試圖用某種分割的策略解決像計算面積和求切線這樣的問題。但是，這種辦法必須面對如何分割和分割到什么程度的問題，也就是人們后來才意識到的難以捉摸的“無窮小”量和“極限”過程的問題。人們經歷了漫長的歲月也終究未能取得突破。最后，牛頓和萊布尼茨這兩位先驅在前人工作的基礎上創立了微分法和積分法，并且發現它們是一種對立統一的辦法（這種對立統一表現為微積分“基本定理”），再經伯努利兄弟和歐拉的改進、擴展和提高，上升到了分析學的高度。早期的微積分由于缺乏可靠的基礎，很快陷入深重的危機之中。隨后登上歷史舞臺的數學大師柯西、黎曼、劉維爾和魏爾斯特拉斯挽危難于既倒，賦予了微積分特殊的 嚴格性和精確性。然而，伴著應用的擴大和深化，各種復雜和高深的問題層出不 窮，不斷在分析學界引起混亂，導致微積分再度走向危機。到這時，數學家們才發現，嚴格性與精確性其實只解決了邏輯推理本身這個基礎問題，而邏輯推理所依存 的理論基礎才是更根本也更難解決的問題。最終，當現代數學天才康托爾、沃爾泰 拉、貝爾和勒貝格把嚴格性與精確性同集合論與艱深的實數理論結合起來以后，創建微積分的過程才終于到達終點。

本書把設立微積分的坎坷歷程中發生的重大事件和出現的杰出人物，一一展示在讀者面前。不過，

前言

20世紀杰出的數學家約翰·馮·諾伊曼（1903—1957）在論述微積分時寫道：微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。 今天，在微積分出現3個多世紀之后，它依然值得我們這樣贊美。微積分儼如一座橋梁，它使學生們通過它從基礎性的初等數學走向富于挑戰性的高等數學，并且面對令人眼花繚亂的轉換，從有限量轉向無限量，從離散性轉向連續性，從膚淺的表象轉向深入的實質。所以，英語中通常在微積分一詞calculus前面鄭重地加上定冠詞“the”，馮·諾伊曼在上述評價中就是這樣做的。“the calculus”（微積分） 這種稱謂同“the law”（定律）相似，用“the”特指微積分是一個浩如煙海的、 獨立存在且令人敬畏的科目。

一如任何重要的智力試探過程，微積分有著五彩斑斕的發展史和光怪陸離的史前史。西西里島錫拉丘茲城的阿基米德（大約公元前287—公元前212）曾用我們現在所知的一種最早的辦法求出某些幾何圖形的面積、體積和表面積。在漫長的800余年后，法國數學家皮埃爾·德·費馬（1601—1665）采用一種十分現代的辦法確定了曲線的切線斜率和曲線下面區域的面積。他們以及其他許很多多聞名的前輩數學家們把微積分推上了歷史舞臺。

不過，這不是一本描寫數學先驅們的書。顯而易見，微積分在很大程度上應歸功于以往的數學家，恰如現代藝術在很大程度上應歸功于過去的藝術家一樣。但是，一座專題博物館—例如現代藝術博物館，并不需要用一間又一間陳列室去展覽對后世有影響的前現代藝術作品。就是說，這樣一種博物館的展覽可以從中期開始。 所以，對于展現微積分創建的歷程，我想也可以這樣做。 因此，我將從17世紀的兩位學者艾薩克·牛頓（1642—1727）和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646—1716）開始，正是他們兩人促成了微積分的降生。萊布尼茨在1684 年的一篇論文中率先發表了他的研究成果，文章的標題中包含一個拉丁詞 calculi（一種計算系統），這個詞后來就用來指代這門新生的數學分支。第一本教科書在十幾年之后面世，微積分（the calculus）的名稱在書中被確定下來。

其后幾十年，其他幾位數學家先承接了挑戰。在這些先驅者中，最杰出的人物當推雅各布·伯努利（1654—1705）和約翰·伯努利（1667—1748）兄弟二人，以及獨一無二的萊昂哈德·歐拉（1707—1783）。在他們的研究成果中有成千上萬的頁面觸及最高品位的數學，研究范圍擴展到包羅極限、導數、積分、無窮序列、無窮級數以及其他許很多多主題在內的各個方面。這個四處延伸的題材帶有一個稱為“分析學”的總標題。

由于復雜性的日益增加，有關基本邏輯的各種困難問題也接踵而至。盡管微積分強盛有力又具有適用價值，但是它設立在一種不牢靠的基礎之上。這使數學家們熟悉到，需要按照歐幾里得幾何的模型，采用一種精確和嚴格的方式重建這門學科。這樣一項緊迫的使命是由19世紀的分析學家奧古斯丁·路易·柯西（1789—1857）、格奧爾格·弗雷德里希·貝爾哈德·黎曼（1826—1866）、約瑟夫·劉維爾（1809— 1882）和卡爾·魏爾斯特拉斯（1815—1897）實現的。這幾位數學大師以前所未有的熱忱工作著，他們不辭艱辛，確切地定義了所用的術語，并且一證實了到那時為止被數學界毫無爭議地接受的各種結果。

但是，一些問題的解決，推開了另外一些問題的大門—這是在科學發展中常常發生的事情。在19世紀下半葉，數學家們利用這些邏輯上嚴密的工具構造出大量奇異的反例，對它們的熟悉讓分析學具有了空前的普遍性和抽象性。我們從格奧爾格·康托爾（1845—1918）的集合論以及后來的維托·沃爾泰拉（1860—1940）、勒內·貝爾（1874—1932）和亨利·勒貝格（1875—1941）等學者的成就中，可以明顯看出這種趨勢。 到20世紀初，分析學已經匯聚成包含無數概念、定義、定理和實例的一座寶庫—— 并且發展為一種獨具特色的思維方式，因此確立了它作為一個至高無上的數學體系的地位。

我們要從這座寶庫中取出一批樣品，目的是考察上面提到的那些數學家獲得的成果，并且以一種忠誠于原貌同時又讓當今讀者能夠理解的方式展示出來。我將探討那些能夠說明微積分在其形成年代的發展狀況的定理，熟悉那些最卓越的天才創建者們。簡言之，本書是一部翻開這段令人憧憬的歷史的“重要定理”集。 為了達到這個目標，我僅限于介紹少數有代表性的數學家的工作。首先我要坦誠披露：對于人物的安排是由本人的鑒賞傾向決定的。本書收入像牛頓、柯西和魏爾斯特拉斯這樣一些數學家，他們會出現在任何一本類似的書中。選入另外一些數學 家，如劉維爾、沃爾泰拉和貝爾等人，更多地是出于我個人的喜好。至于其他一些 數學家，如高斯、波爾査諾和阿貝爾，他們則不在我的考慮之列。

同樣，我討論的某些定理是數學文獻的所有讀者都熟知的，盡管它們原有的證實對于不精通數學史的人而言是離奇的。萊布尼茨1673年關于“萊布尼茨級數”幾乎不被人們承認的推導，以及康托爾1874年關于連續統不可數性的鮮為人知的首次證實，就屬于這種情景。另外一些定理雖然在數學上是司空見慣的，但是很少出現在現代教科書中—這里我所指的是像魏爾斯特拉斯構造的到處連續而無處可微的函數的結果，當他在1872年把這個結果提交給柏林科學院時引起了數學界的震動。至于我的某些挑選，我承認，是非常奇怪的。例如書中包含歐拉對積分

的估值，這不過是為了展示這位數學家在分析學方面的奇才。

書中的每一個結果，從牛頓的正弦級數的推導，到伽瑪函數的示意，再到貝爾的分類定理，都處于所在時期的研究前沿。總的說來，它們記錄了分析學伴著工夫的演進過程，以及參與者們在風格上和本質上的變化。這種演進是引人矚目的，因為可以將勒貝格1904年的一個定理同萊布尼茨1690年的一個定理之間的差別，比擬為現代文學同英國古典英雄史詩《貝奧武甫》之間的區別。盡管如此，我仍舊相信每個定理都顯示出值得我們

我的準則之一是避免貪大求全，去寫一部描寫分析學發展進程的全面的歷史書。無論如何，這是一項過于宏大的使命，何況已經出版了很多論述微積分發展的著作。 我所喜愛的一些書籍已在正文中明確提出，或者作為資料列入參考文獻。 第二條準則是把多元微積分和復分析排除在外。這樣做或許是一種令人遺憾的挑選，不過我相信是準確的。據此把這本書的內容被置于某種可以控制的范圍內，從而增添敘述的連貫性。此種限制同時把對讀者背景的要求升高到最低程度，因為一本只討論一元實分析的書，能夠理解它的讀者將是最廣泛的。

這就提出準備知識的問題。針對本書面對的讀者，我寫進很多技術細節，所以只要具備最基本的數學知識就能理解書中的定理。某些早期的結果要求讀者有毅力看完不止一頁的代數運算。至于后期的某些結果則需要純粹抽象的判別能力。一般而言，我不會對數學上缺乏勇氣的人推薦此書。 同時，為力求達到短小精悍，同一本標準的教科書不同，我采用比較隨意的寫法。 我的本意是想讓這本書對于那些或多或少具備大學數學程度的讀者，或者那些沒有 被隨處可見的積分或ε符號嚇倒的讀者來說，更輕易接受。我的目標是使準備知識剛好夠用于理解所述主題，但是又不能再少。要是不這樣做，將會使內容索然寡味，無法達到我的更大目標。

所以說這首先不是一本數學家的傳記，也不是一部微積分的歷史，更不是一冊教科書。現實上，盡管在書中我有時記述傳記材料，有時探討某個主題同另一個主題之間的聯系的歷史，而且有時也采用教科書的方式介紹新穎的（或者久已被遺忘的）概念，我仍要指出這一點。不過我最初的動機是很簡樸的：同讀者分享分析學的豐 富歷史中為人們膾炙人口的某些結果。

同時，這引起我作最后一點說明。 在多數學科中存在著一種傳統，那就是研究卓越的先驅們的主要著作，那些先驅乃是學科領域中被稱為“大師”的杰出人物。學文學的學生要拜讀詩人和劇作家莎士比亞的作品；習音樂的學生需聆聽作曲家巴赫的樂曲。然而在數學界，假如說這樣一種傳統不是完全沒有的話，那么至少也是十分罕見的。本書是想使這種局面得以改觀。不過我不打算把它寫成一部微積分的歷史，而必須把它作為展現微積分雄偉畫卷的陳列室。 為了這一目的，我匯集了若干杰作，只不過它們不是繪畫大師倫勃朗或者凡高創作的油畫，而是歐拉或者黎曼證實的定理。這樣一座陳列室或許有一些獨特之處，但是它的目標同一切有價值的博物館一樣：成為一座優異的知識寶庫。

像任何陳列室一樣，這座陳列室的藏品中仍舊存在空白。也像任何陳列室一樣，這座陳列室不可能為人們希望展出的所有珍藏品提供充足的空間。雖說有這些局限性，但是當一位參觀者離去時，他必然會對天才人物們布滿感激之情。同時，那些徜徉于展品之間的人們將從最終的分析學中體驗到數學中最高深的想象力。

第1章 牛頓

艾薩克·牛頓不但是數學上的開創性人物，而且是整個西方思想史上舉足輕重的人物。當他出生時，科學尚未確立對中世紀迷信至高無上的統治地位，而在他逝世時，理性時期已經步入全盛時代。這一不同平常的轉變在肯定程度上應歸功于他的貢獻。

作為數學家，牛頓被推崇為微積分或者他為之命名的“流數術”的創立者。微積分的起源要追溯到17世紀60年代中期，那時牛頓還是劍橋大學三一學院的一名學生。 在那里牛頓用心研究勒內·笛卡兒（1596—1650）、約翰·沃利斯（1616—1703）以及三一學院第一位盧卡斯數學教授艾薩克·巴羅（1630—1677）這樣一些先驅們的著作，但是很快他就發現自己進入了一個從未有人涉足的領域。在接下來的幾年中， 牛頓永遠地改變了數學的面貌，傳記作家Richard Westfall把他這幾年描繪為一個“光線四射的活動”時代。到1669年，巴羅本人將他的這位繼任者和同事形容 為“我們學院的一位伙伴，十分年輕……，但卻是一位具有非凡天賦和卓越才能的人物”。

在本章，我們來考察一下牛頓早期的如下幾個成就：將某些表達式轉換為無窮級數的廣義二項張開式，求無窮級數的逆級數的辦法，以及確定曲線之下的面積的求積法則。最后我們介紹一個驚人的結果，即一個角的正弦的級數張開。關于二項張開 式的最早描述出現在他回答萊布尼茨詢問的《前信》中，那是在他實現最初的研究工作很久以后。本章其他素材來自牛頓1669年的論著《使用無窮多項方程的分析 學》，這本著作通常簡稱為《分析學》。

盡管本章僅限于討論牛頓早期的工作，但是需要指出，牛頓“早期的工作”幾乎總是超越其他任何人深謀遠慮的工作。

廣義二項張開式

截至1665年，牛頓已經發現將二項式張開（他的說法是“化簡”）成級數的簡樸辦法。對他而言，這種化簡不僅是用另一種形式重建二項式的手段，同時也是通向流數術的大門。這個二項式定理是牛頓眾多數學發明的起點。

其中A ，B ，C , …分別代表前一項，我們將在下面舉例說明。這就是聞名的牛頓 二項式張開式，雖然這種形式或許是新穎的。

牛頓得到

牛頓將這種簡化比作是從平方根到無窮小數的轉換，并且不遺余力地推崇這一運算 的好處。他在1671年寫道：這是一種產生無窮級數的簡便辦法，所有復雜的項……都可以簡化為一類簡樸的 量，即分子和分母都是簡樸項的分數的無窮級數，這樣將會消退那些其原始形式 看起來幾乎難以逾越的困難。

的確，將數學家從不可逾越的難題中解脫出來是一件值得做的事情。

牛頓通過將級數平方 并審查其結果來“檢驗”式（3）這樣的張開式。假如我們也這樣做，并且限制取次數不超過x^8的項，得到

牛頓將這樣的計算當作讓人信服他的普遍性結論的證實。他斷言“盡管我們這些凡人的推理能力十分有限，既不能表達也不能想象這些等式的所有項，就像我們無法確切明白那些量從何而來一樣”，但是“可以把對有限項等式的一般分析”推廣到這樣的無限項表達式。

逆級數

在描述把某些二項式化簡為形如

的無窮級數的辦法以后，牛頓進一步尋覓通過z的項把x 示意成級數的辦法。用現在的術語，他是尋覓逆級數關系。所得到的辦法對代數學并未產生顯著影響，但是隨后將會看到，我們對它的

將上式張開并整理后，得到

下一步，舍棄p的2次方項、3次方項和更高次方項，再求解，得到

忍耐力的牛頓好像可以將這樣的計算（幾乎）無限地 延續下去。但是，牛頓最終也樂于回過頭來審閱結果，尋覓某種一般的表達形式。牛頓這樣寫道：“讓考察停留在這里，順便指出，當第5項或者第6項……為已知時，假如愿意的話，一般來說，通 過看見這一過程的相似性，可以把推導隨意進行下去”。

到目前為止，所討論的辦法（廣義二項張開式和逆級數）將成為牛頓手中強有力的工具。然而，在我們真正評價這位大師的成果之前，還有最后一項必備知識。

《分析學》中求面積的法則

牛頓在1669年所寫的《分析學》一書中，承諾要論述求面積的辦法，“我在很早以前已經發明了通過無窮項級數來計算曲線之下面積的辦法”。這不是牛頓第一次提到他的流數發明，他在1666年10月撰寫的一本小冊子《流數簡論》中就說過同樣的話。《分析學》對那本小書做了修訂，展現了這位正在走向成熟的思想家的超人聰明。當代學者發現了一個奇異的現象：除了幾位幸運的同事外，奧秘的牛頓沒有對公眾公開這份手稿。直到1711年，其中的很多結果已經由其他人發表之后，這份手稿才印制成書。雖然如此，更早的寫作年代和杰出的

該書以求“簡樸曲線的面積”的三條法則的一個命題開始。在17世紀，英語中積分（quadrature）的含義是求面積，所以，這三條法則就是積分法則。

僅僅到了《分析學》一書的最后，牛頓幾乎像事后反思一樣才注重到“留心的讀者”會想看到法則1的證實。3留心的讀者總是不乏其人的，所以我們在下面給出他的論證。

到這一步，他寫道：“假如我們假定Bβ為無限減小并消失的量，或者o 為零，那 么，v 和y在這種情景下相等，并且那些乘以o的項將消失”。他斷言，當o變成零時，式（8）中所有包含o 的項也變成零。與此同時，v 同 y 相等，這就是說，圖1-2中矩形的高BK 將等于原曲線的縱坐標BD 。通過這種方式，式（8）變換成

現代讀者的反應很可能是，“別那么快，艾薩克！”當牛頓用o作除數的時分，o無疑不等于 零。但是過了一會，o 就變成零了。一言以蔽之，這里埋伏了隱患。 這種零與非零的對應在隨后的一個多世紀始終困擾著分析學家們。本書后面將更多地討論這個問題。

這是一種特殊扭曲的邏輯。從曲線之下的面積積分z導出y 的方程之后，牛頓斷言這種關系在相反的方向也存在。

這樣的論證給我們留下雜亂無章的感覺，因為其中包含很大的邏輯漏洞。牛頓數學論文集的

無論如今的評判如何，牛頓當初是感到滿足的。牛頓在《分析學》中沒有給出證實的另外兩條法則如下：

法則2 由簡樸曲線構成的復雜曲線的面積：若y 的值由若干項構成，那么它的面積等于其中每一項的面積之和。

法則 3 所有其他曲線的面積：假如y的值或者它的任何項比上述曲線更復雜，那么必須把它分解成更簡樸的項……，然后應用前面兩條法則，就可以獲得欲求曲線的面積。

牛頓的第二條法則斷定有限項和的積分等于各項積分的和。他用了兩個例子來說明這條法則。第三條法則斷言，當碰到更復雜的表達式時，首先需要將其“化簡”成無窮級數，再通過第一條法則對級數的每一項求積分，然后再對結果求和。 最后這條法則是一個富有吸引力的主張。更適當地說，這是最后一個前提條件，牛頓需要用它導出數學上的一個重大結果：一個角的正弦的無窮級數。出自《分析學》的這個重要定理是這一章最有意義的主題。

牛頓的正弦級數推導

考慮圖1-3中以原點為圓心和半徑等于1的圓的四分之一。同以前一樣，令AB=x,BD=y 。牛頓的第一個目標是求圓弧αD的長度的表達式。

圖1-3

牛頓的正弦級數和余弦級數（1669）

對我們來說，這種推導所兜的圈子看起來是不堪設想的。我們現在把正弦級數視為不過是泰勒公式和微分學的一個微乎其微的推論而已。所以我們天然而然地以為它 始終就是這樣簡樸的。但是，正如我們所見，牛頓克服了重重困難才得到這個結果。他使用了積分法則而不是微分法則；他從（我們認為）偶爾的反正弦級數產生正弦級數；同時，他需要使用他所提出的復雜的逆過程方案來實現全部推導。

這個歷史片段提醒我們，數學并不是按照現在教科書中的方式發展的。相反，它是通過斷斷續續地在出乎意料的驚喜中發展起來的。現實上，那是相稱有趣的，因為歷史在一下子變得有意義、幸福和出乎意料的時分，它是極具吸引力的。 談到出乎意料這個話題，我們就Derek Whiteside在上面那段話中的評判補充一 句。看起來牛頓并不是第一個發現正弦級數的人。印度數學家尼拉坎塔（1445— 1545)在公元1545年描述過這個級數，并且把它歸功于更久遠的前輩馬達維（生存在公元1400年前后)。關于這些發現和印度數學中的優良傳統的敘述可以從文獻4 和 5 中查到。但是，這些成果在牛頓活躍的時期的歐洲天然不為人們所知。

我們以兩點評論作為本章的結束語。第一，牛頓的《分析學》是一本真正的數學經典，是任何一位對微積分的歷程感愛好的人都應擁有的讀物。從中可以瞥見這位歷史上最具創造力的思想家在其才智發展的早期階段的情景。 第二，用現在的眼光看來，一場轟轟烈烈的革命開始了。年輕的牛頓以其超越時期的專業才能和洞察力把無窮級數和流數法結合起來，將數學的前沿推向若干新的發展方向。與他同時期的詹姆斯·格雷戈里（1638—1675）評論過去的初等辦法對于產 生同樣關聯的這些新辦法，就猶如“黎明的晨曦對于正午的陽光”。正如我們在 后面幾章將要多次看到的，格雷戈里這種令人沉醉的描述是恰如其分的。同時，第 一個走向這條感動人心的道路的人是牛頓，他確實不愧為“一位具有非凡天賦和卓 越才能的人物”。

五：積分生是什么

是指非當地戶籍適齡兒童或少年，申請入讀義務教育階段當地公辦學校可分為政策性借讀生和普通借讀生（積分入學），而戶籍生是指具有當地戶籍的學生。

通常由于戶口，成績不夠等原因導致學籍（或戶籍）與所在學校（或所在地）不一致的學生。大多數公辦校或者民辦校是接受借讀生的。