三角形中線定理解析（中線定理的四種證法詳解）

中線定理：已知AD是△ABC的邊BC上的中線，則

中線定理給出了三角形的中線與三邊的關系，這個定理是怎么得到的呢？下面我們將給出該定理的四種證實辦法。

證法一（純幾何法）：

由平方關系，聯想到勾股定理，為此構造直角三角形。

過點A作AE⊥BC，垂足為E，根據△ABC的不同外形，垂足E可能在線段BD上、線段CD上、BC的延長線或CB的延長線上，當然E還可能與D點重合，此時△ABC是等腰三角形，結論顯然成立。下面我們只證實垂足E在線段CD上的情景，其他情景類似證實。

由勾股定理，有：

所以，

故

證法二（解析幾何法）：

解析幾何法的特點在于計算，需要用到了兩點之間的距離公式。

因為D點為中點，由中點坐標公式，有：

（此處，我們用示意P點的橫坐標和縱坐標，下同。）

則

由恒等關系：

進一步可得：

，得證。

證法三（余弦定理）：

運用余弦定理證實也很簡潔。

由余弦定理得：

因為BD=CD，∠ADB+∠ADC=180°，

所以

所以

從而

證法四（向量法）：

由于，所以，

從而

故